Игорь Савинцев родился 18 октября 1952 года в Барнауле. Окончил Алтайский политехнический институт им. И.И.Ползунова и Академию народного хозяйства при Правительстве РФ.
В 1978 - 1991 годах работал в различных строительных организациях города, занимал руководящие должности. В 1991-1998 годах руководил Барнаульским отделением Московского представительства фирмы «НИССО БОЭКИ Ко., ЛТД». В 1998-2004 годах работал генеральным директором Алтайского краевого государственного унитарного предприятия «Концерн Алтайресурсы». В 2004-2006 годах - снова на руководящей должности в Барнаульском отделении Московского представительства акционерной компании «НИССО БОЭКИ КО., ЛТД».
В мае 2006 года Игорь Савинцев был назначен председателем комитета по управлению муниципальной собственностью Барнаула, в том же году стал заместителем главы администрации Барнаула. В 2008 году был назначен первым заместителем главы администрации.
27 августа после отставки главы Барнаула Владимира Колганова депутаты гордумы наделили Савинцева полномочиями исполняющего обязанности главы города.
После изменения Устава города и введения должности главы администрации, назначаемого по контракту, 22 декабря 2010 года Савинцев был назначен главой администрации Барнаула. Находился в этой должности до 8 ноября 2012 года. После выборов гордумы нового созыва вновь был назначен главой администрации Барнаула 14 декабря 2012 года.
26 июня 2015 года Следственное управление Следственного комитета РФ по Алтайскому краю возбудило в отношении Савинцева уголовное дело по ч. 2 ст. 285 УК РФ (злоупотребление должностными полномочиями). По версии следствия, с ноября 2010 по июнь 2011 года Савинцев в нарушение действующего законодательства подписал постановления о предоставлении по заниженной стоимости земельных участков, принадлежащих муниципальному образованию город Барнаул, двум обществам с ограниченной ответственностью, аффилированным членам его семьи, и причинил городу имущественный ущерб в размере более 11 млн рублей. В администрации Барнаула считают, что никаких нарушений допущено не было: земельные участки не выкупались, а были взяты в аренду. По действующему до 2015 года законодательству землю в аренду можно было выделять без аукционов, если на нее не было нескольких претендентов.
4 августа судья Центрального районного суда Валерий Драничников рассматривал постановление следователя по особо важным делам СУ СК РФ по Алтайскому краю Александра Мецлера о возбуждении ходатайства о временном отстранении от должности Игоря Савинцева. Суд принял решение возвратить ходатайство следствия о временном отстранении Савинцева от должности без рассмотрения по существу: следствие не обеспечило явку в суд защитника и подозреваемого. Игорь Савинцев и его защитник Жанна Пронина были извещены о дате и времени судебного заседания 3 августа, но Савинцев и в тот день, и в день заседания суда находился на стационарном лечении.
5 августа следователь повторно вызвал Савинцева в суд на 12 августа.
11 августа Игорь Савинцев заявил о добровольном сложении полномочий по состоянию здоровья.
